Course info

Дисциплина «Математический анализ» относится к дисциплинам Блока 1. Дисциплины (модули), Б1.О Обязательная часть, Б1.О.07 Предметно-методического модуля по профилю «Математика» учебного плана основной профессиональной образовательной программы высшего образования – программы бакалавриата по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки), направленность (профиль) образовательной программы  «Математика.Информатика», очной формы обучения; 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки), направленность (профиль) образовательной программы  «Математика. Иностранный язык», очной формы обучения.

Дисциплина опирается на результаты обучения, сформированные в рамках школьного курса «Алгебра и начала математического анализа» или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования. Изучение дисциплины взаимосвязано с рядом дисциплин учебного плана: («Алгебра», «Геометрия»), а также иными математическими дисциплинами базовой и вариативной частей программы. Курс математического анализа дополняется и поддерживается дисциплинами по выбору студента  (углубленное изучение отдельных тем и вопросов). Курс математического анализа является предшествующим для дисциплин: «Дифференциальные уравнения», «Основы теории функций вещественного и комплексного переменного», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы»; для ряда разделов алгебры (например, теории многочленов) и геометрии (например, дифференциальной геометрии) и др.

Результаты изучения дисциплины являются основой для прохождения практик: Педагогическая практика по математике,  Научно-исследовательская работа.

Перечень планируемых результатов обучения (образовательных результатов) по дисциплине

Цель дисциплины «Математический анализ» – освоение бакалавром системы  базовых понятий, идей и методов классического математического анализа, формирование навыков решения задач, умения оперировать математическим аппаратом, развитие абстрактно-логического мышления, подготовка к преподаванию школьных курсов математики.

Задачи дисциплины связаны с формированием общекультурных и профессиональных компетенций и включают формирование логической и алгоритмической культуры, системных знаний по базовым разделам современной математики, представлений о структуре математического знания в целом.

 Объем дисциплины в зачетных единицах с указанием количества академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) и на самостоятельную работу обучающихся

  Указание тем (разделов) и отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий

Интегральное исчисление функций одной действительной переменной. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства первообразных и неопределенных интегралов. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования (непосредственное, метод замены переменной). Основные методы интегрирования (интегрирование по частям). Интегрирование простейших правильных рациональных функций. Общее правило интегрирования рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Определенный интеграл (интеграл Римана). Его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла. Классы интегрируемых функций.Определенный интеграл как функция верхнего предела. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. Интегрирование методом подстановки, методом интегрирования по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Несобственные интегралы (1 и 2 рода). Геометрические приложения определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, площадь криволинейного сектора.  Длина дуги плоской кривой. Вычисление объема тел по известным площадям параллельных сечений. Объем и площадь поверхности тела вращения. Приложения определенного интеграла в физике. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

 Теория рядов

Числовые ряды. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.  Знакопостоянные ряды. Общий признак сходимости положительных рядов. Признаки сравнения. Ряды с неотрицательными членами. Признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно сходящихся числовых рядов. Функциональные последовательности и ряды. Сумма функционального ряда Область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Формула и ряд Тейлора. Теоремы о сходимости ряда Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Некоторые приложения степенных рядов.

Периодические функции Гармонические колебания. Тригонометрические многочлены. Тригонометрические ряды. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций на отрезке .. Ряд Фурье функции, определенной на отрезке , достаточные условия его сходимости к своей функции (теорема Дирихле, без доказательства). Ряды Фурье четных и нечетных функций. Разложение функции, определенной на отрезке , в ряд по синусам, в ряд по косинусам. Ряды Фурье на произвольном отрезке.

 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функции нескольких переменных: область определения, линии (поверхности) уровня, способы графического представления функций двух, трех переменных. Предел функции нескольких переменных: определение в терминах окрестностей и в терминах последовательностей. Непрерывность функции нескольких переменных.

Частные производные функции нескольких переменных Производная функции нескольких переменных в точке по заданному направлению. Геометрический смысл производных по направлению, частных производных функции двух переменных. Градиент функции нескольких переменных в точке, геометрический смысл градиента. Дифференцируемость функции нескольких переменных, полный дифференциал. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных; касательная плоскость и нормаль к поверхности. Необходимые и достаточные условия  дифференцируемости функции в точке.

Производные высших порядков функции нескольких переменных. Смешанные производные, условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных, форма n-го дифференциала.  Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Теорема о существовании неявной функции. Теорема о дифференцировании неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявно.